Lattice Object

El otro día estuve mirando un libro de Escher que tengo desde hace tiempo. Hojeándolo llegué hasta uno de los dibujos que siempre me había sorprendido por su regularidad: “Cubic Space Division” . Este dibujo se puede representar a mano con un poco de paciencia, cosa que les sobra a las computadoras. Así, que decidí realizar un pequeño programa que representara escenarios parecidos a ese dibujo.

Cómo mostrar el espacio sin más es aburrido, decidí representar un enrejado acotado por la superficie de un objeto. Para ello utilicé una herramienta que codifiqué hace más o menos un año. La herramienta (una clase en C++) determina si un punto está dentro o fuera de un objeto cerrado. Esta herramienta se pensó para determinar el volumen de un objeto amén de utilizarse para obtener otras interesantes características como el tensor de inercia del sólido rígido que representaría. Para determinar el volumen, normalmente se eligen puntos aleatorios acotados dentro de una superfice que engloba el objeto y se haya una relación entre los que están dentro y los totales. Si esta relación se multiplica por el volumen acotado de la superficie englobante tenemos una aproximación del volumen. Estas técnicas de integración numérica son muy útiles cuando es muy complicado o imposible obtener una función analítica que represente la función de superficie que se desea integrar.

Para realizar este modelo simplemente hay seleccionar puntos equiespaciados en los tres ejes espaciales y almacenar los que están dentro del objeto a analizar. Analizando la vecindad de los nodos (ver si tiene vecinos en los tres ejes y sus dos direcciones) se pueden añadir empalmes que parejas de éstos. Es necesario elegir cautelosamente los tamaños de los nodos y de los empalmes para que el armazón no englobe todo el espacio.

Dejo por aquí algunos renders. Una vista interior:

Otras exteriores…

Y una exterior más de cerca:

Brócoli con suelo liso

Dejo por aquí otros dos renders del brócoli de Romanesco. He quitado el fondo de ajedrez como comentó Mamen.

En este render el suelo es simplemente gris. El color azulado se debe a la radiancia que emite la cúpula celeste (si nos fijamos cuidadosamente veremos que en el mundo real pasa algo similar, las sombras diurnas son ligeramente azuladas).

En este otro render he cambiado la BRDF del suelo de difusa a una de phong (con un exponente de 1024). El efecto conseguido es un suelo reflectante que dispersa parcialmente los rayos de luz que llegan. Los reflejos más distantes se vuelven más difusos. Obviamente el color azulado es debido al color del cielo.

El brócoli de Romanesco

Recursividad y autosimilaridad, dos características propias de los fractales. La autosimilaridad es propia de la naturaleza y la recursividad de las computadoras. Está por lo tanto la naturaleza, ¿computada?. No lo creo, es más probable que simplemente sea el resultado de una compresión de datos a nivel genético y una optimización de los recursos desde un punto de vista evolutivo. En cualquier caso es fascinante.

Las plantas son los seres vivos que mas relacionados están con la geometría fractal. El ejemplo clásico es el helecho (Fern) representado en otro ‘post’ mediante una técnica de IFS. Una técnica sorprendente dado que une el caos, la autosimilaridad y el orden en un único elemento. Representando puntos aleatorios y transformandolos usando una función iterada nace la autosimilaridad. Entrada aleatoria, mundo real; iteraciones, evolución. Personalmente no sé si la naturaleza funciona así, pero sus resultados son sorprendentes.

Uno de los ejemplos que más me ha impresionado del mundo vegetal es el brocoli de Romanesco. Conos organizados en espiral con otros conos dentro de los primeros y así sucesivamente, de tal suerte que se organizan de forma esferoide maximizando el volumen, minimizando los huecos, siendo una figura óptima.

Para representar por computadora este brócoli he utilizado simplemente un mecanismo recursivo. Siguiendo el concepto básico de función iterativa he partido de una matriz de transformación (identidad) que he ido rotando y escalando en cada iteración. Siendo el resultado de una iteración la fuente de la siguiente. Representando una esfera (o cualquier otro elemento) en el punto que determina la transformación de cualquier punto del espacio (constante en todo el proceso, por ejemplo (1,0,0) ) con dicha matriz se puede representar una forma. En este caso una espiral. Si se toma, para cada uno de esos puntos medidos en la primera pasada, su matriz de transformación asociada y se usa como matriz original de una nueva serie de transformaciones obtenemos el fenómeno de la autosimilaridad.

Esta técnica no se puede llevar hasta niveles elevados (más de 3) porque el número de elementos crece rápidamente. En el ejemplo hay dos niveles de recursividad. Nótese, a modo de comparación con la naturaleza, el detalle que tiene la forma real y cómo la computación (¡tan solo visual!) de su homólogo virtual puede llegar a ser impracticable.